Глава 8. Временной метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях

8.1. Переходные и импульсные характеристики электрических цепей

В основе временного метода лежит понятие переходной и им­пульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции (7.19). Обозначается переходная характеристика цепи g(t). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воз­действие единичной импульсной функции (d-функции) (7.21). Обо­значается импульсная характеристика h(t). Причем, g(t) и h(t) определяются при нулевых начальных условиях в цепи*. В зави­симости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмер­ными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Использование понятий переходной и импульсной характери­стик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непе­риодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t) или импульс­ной функции d(t), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи нахо­дится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t)  или d(t).

Между переходной g(t) и импульсной h(t) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций вели­чины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t (см. рис. 7.4):

т. е. единичная импульсная функция рав­на производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение (8.1) сохраня­ется и для импульсных и переходных реак­ций цепи

т. е. импульсная характеристика является производной от переход­ной характеристики цепи.

Уравнение (8.2) справедливо для случая, когда g(0) = 0 (нуле­вые начальны е условия для цепи). Если же g(0) ¹ 0, то предста­вив g(t) в виде g(t) = , где  = 0, получим уравнение связи для этого случая:

Для нахождения переходных и им­пуль­сных характеристик цепи можно использо­вать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода сос­то­ит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t) или импульсной d(t) функ­ции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g(t), а импульсную характеристику h(t) находить с помощью уравнений связи (8.2), (8.3) или операторным методом.

Пример. Найдем классическим методом переходную характеристику по напряжению для цепи, изображенной на рис. 8.1. Численно g_u(t) для данной цепи совпадает с напряжением на емкости при подключении ее в момент t = 0 к источ­нику напряжения U₁ = l В:

Закон изменения напряжения u_C(t) определяется уравнением (6.27), где не­обходимо положить U = l В:

При нахождении характеристик g(t) и h(t) операторным мето­дом пользуются изображениями функций 1(t), d(t) и методикой расчета переходных процессов, изложенных в гл. 7.

Пример. Определим операторным методом переходную характеристику g_u(t) RС-цепи (см. рис. 8.1). Для данной цепи в соответствии с законом Ома в опера­торной форме (7.35) можем записать:

где

Окончательно получаем

Отсюда по теореме разложения (7.31) находим

т. е. то же значение, что и полученное классическим методом.

Следует отметить, что величина I(р) в уравнении (8.4) численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изо­бражение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи

Например, для RС-цепи (см. рис. 8.1) имеем:

Применив к Y(p) теорему разложения (7.30), получим:

Следует отметить, что формула (8.5) определяет свободную составляющую реакции цепи при единичном импульсном воздей­ствии. В общем случае в реакции цепи, кроме экспоненциальных составляющих свободного режима при t > 0 присутствует импульсное слагаемое, отображающее воздействие при t = 0 единичного импульса. Действительно, если учесть, что для RС-контура (см. рис. 8.1) переходная характеристика по току при U = 1(t) согласно (6.28) будет

то после дифференцирования (8.6) согласно (8.2) получаем импульсную характеристику RС-цепи h_i(t) в виде

т. е. реакция h_i(t) содержит два слагаемых — импульсное и экспо­ненциальное.

Физический смысл первого слагаемого в (8.7) означает, что при t = 0 в результате воздействия на цепь импульсного напряжения

d(t) зарядный ток мгновенно достигает бесконечно боль­шого значения, при этом за время от 0_– до 0₊ элементу емкости передается конечный заряд и она скачком заряжается до напря­жения I/RC. Второе слагаемое определяет свободный процесс в цепи при t > 0 и обусловлено разрядом конденсатора через короткозамкнутый вход (так как при t > 0 d(t) = 0, что равносильно КЗ входа) с постоянной времени t = RC. Из этого следует, что при d(t)-импульсном воздействии на RС-цепь нарушается непрерыв­ность заряда на емкости (второй закон коммутации). Аналогично нарушается и условие непрерывности тока в индуктивности (пер­вый закон коммутации), если к цепи, содержащей элемент индук­тивности воздействовать напряжением в виде d(t).

В табл. 8.1 сведены значения переходной и импульсных харак­теристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.

8.2. Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимиро­вать приложенное воздействие f₁(t) с помощью единичных функ­ций, сдвинутых относительно друг друга на время Dt (рис. 8.2).

Реакция цепи на каждое ступенчатое воздействие определится как

Результирующая реакция цепи на систему ступенчатых воздействий найдется, исходя из принципа наложения:

где п — число аппроксимирующих участков, на которые разбит ин­тервал 0 ... t. Домножив и разделив выражение, стоящее под зна­ком суммы, на Dt и перейдя к пределу с учетом того получим одну из форм интеграла Дюамеля:

Уравнение (8.8) отражает реакцию цепи на заданное воздействие, поскольку аппроксимирующая функция стремится к исходной.

Вторая форма интеграла Дюамеля может быть получена с по­мощью теоремы свертки (см. § 7.1):

Наконец, интегрируя по частям выражения, стоящие в уравне­ниях (8.8) и (8.9), получаем третью и четвертую формы интеграла Дюамеля:

Применение той или иной формы интеграла Дюамеля диктуется удобством и простотой вычисления подынтегральных выражений.

Пример. Запишем реакцию цепи (см. рис. 8.1) на напряжение, изображенное на рис. 8.3 с помощью интеграла Дюамеля (8.8). Переходная характеристика дан­ной цепи имеет вид .

После нахождения переходной функции определяем число участков интегри­рования, где функция непрерывна и дифференцируема. Определяем значение  на этих участках. Для рассматриваемого воздействия таких участков будет три: , , . Необходимость включения третьего участка объясняется тем обстоятельством, что несмотря на прекращение входного воз­действия в силу переходных процессов (см. гл. 6) в цепи будет наблюдаться ос­таточная реакция. Для каждого из выделенных участков запишем уравнение (8.8) с учетом реакций предыдущих участков:

на участке

на участке

                   

на участке

В случае, когда воздействие прикладывается к активной цепи (рис. 8.4, а), расчет переходных процессов можно вести методом наложения. При этом вначале расчет ведется с помощью интеграла Дюамеля для пассивной цепи (рис. 8.4, б), затем определяется клас­сическим или операторным методом реакция цепи при включении рассматриваемой ветви к активному двухполюснику (рис. 8.4, в). Результирующая реакция находится как сумма реакций: .

8.3. Интеграл наложения

При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложе­ния используется импульсная характеристика цепи h(t). Для по­лучения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f₁(t) с помощью системы единичных импульсов длительности dt, амплитуды f₁(t) и площади f₁(t)dt (рис. 8.5). Выходная реакция цепи на каждый из единичных импульсов

Используя принцип наложения, нетрудно получить суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов:

Интеграл (8.12) носит название интеграла наложения*. Между интегралами наложения и Дюамеля существует простая связь, определяемая связью (8.3) между импульсной h(t) и переход­ной g(t) характеристиками цепи. Подставив, например, значе­ние h(t) из (8.3) в формулу (8.12) с учетом фильтрующего свой­ства d-функции (7.23), получим интеграл Дюамеля в форме (8.11).

Пример. На вход RС-цепи (см. рис. 8.1) подается скачок напряжения U₁. Оп­ределить реакцию цепи на выходе с использованием интегралов наложения (8.12) и Дюамеля (8.11).

Импульсная характеристика данной цепи равна (см. табл. 8.1): h_u(t) = = (1/RC)e^–t/RC. Тогда, подставляя h_u(t – t) = (1/RC)e^{–(t–t)/RC} в формулу (8.12), по­лучаем:

Аналогично результат получаем при использовании переходной функции данной цепи и интеграла Дюамеля (8.11):

Если начало воздействия не совпадает с началом отсчета вре­мени, то интеграл (8.12) принимает вид

Интегралы наложения (8.12) и (8.13) представляют собой свертку входного сигнала с импульсной характеристикой цепи и широко применяются в теории электрических цепей и теории пере­дачи сигналов. Ее физический смысл заключается в том, что вход ной сигнал f₁(t) как бы взвешивается с помощью функции h(t—t): чем медленнее убывает со временем h(t), тем большее влияние на выходной сигнал оказывает более удаленные от момента наблю­дения значение входного воздействия.

На рис. 8.6, а показан сигнал f₁(t) и импульсная характери­стика h(t—t), являющаяся зеркальным отображением h(t), а на рис. 8.6, б приведена свертка сигнала f₁(t) с функцией h(t—t) (за­штрихованная часть), численно равная реакции цепи в момент t.

Из рис. 8.6 видно, что отклик на выходе цепи не может быть короче суммарной длительности сигнала t₁ и импульсной харак­теристики t_h. Таким образом, для того чтобы выходной сигнал не искажался импульсная характеристика цепи должна стремиться к d-функции.

Очевидно также, что в физически реализуемой цепи реакция не может возникнуть раньше воздействия. А это означает, что им­пульсная характеристика физически реализуемой цепи должна удовлетворять условию

Для физически реализуемой устойчивой цепи кроме того должно выполняться условие абсолютной интегрируемости импульсной характеристики:

Если входное воздействие имеет сложную форму или задается графически, то для вычисления реакции цепи вместо интеграла свертки (8.12) применяют графоаналитические способы.

Вопросы и задания для самопроверки

1.  Дать определения переходной и импульсной характеристик цепи.

2.  Указать связь между импульсной и переходной характеристиками.

3.  Как определить переходную и импульсную характеристику цепи?

4.  В чем отличие переходных характеристик   , объяснить их физический смысл.

5.  Как определить, какую из четырех разновидностей переходных или импульсных характеристик необходимо применить в каждом конкретном случае при расчете реакции цепи?

6.  В чем заключается сущность расчета переходных процессов с использованием g(t) и h(t)?

7.  Как определить реакцию цепи, если воздействие имеет сложную форму?

8.  Каким условиям должна удовлетворять цепь при использовании интеграла Дюамеля?

9. Приведите другую форму интеграла наложения, отличную от (8.12).

10.  Расчет реакции цепи с использованием интегралов Дюамеля и наложения приводит к одинаковым результатам или разным?

11.  Определить переходную проводимость цепи, образованной сопротивлением и индуктивностью, включенными последовательно.

Ответ: .

12.  Определить  цепи, образованной сопротивлением и емкостью, включенными последовательно.

Ответ: .

13. Получить третью форму интеграла Дюамеля (8.10) из уравнения свертки (8.10).

---