Кривые i₂(t) и i₃(t) могут быть построены на одном графике. При выборе масштабных делений по осям графиков учитываются максимальные значения соответствующих величин. Для тока и напряжения целесообразно принять в 1 см по 1 мА и 1 В соответственно. Масштаб по оси времени определяется длительностью переходного процесса. Известно, что экспоненциальные функции за время t = 3t изменяется на 95% от своего максимального значения. Тогда можно принять, что переходный процесс в цепях первого порядка заканчивается через 3t с погрешностью 5%. Учитывая (3.5), получим для данной схемы t_пер.пр = 3t = 8,4 мкс. Для построения графика удобно принять масштаб по оси времени 2 мкс в 1 см.

4. Расчет тока i₂(t) операторным методом.

Для состояния цепи при t ³ 0 (рис. 2) составляется операторная схема замещения, которая учитывает независимые начальные условия в виде дополнительных (расчетных) источников напряжения Li_L(0) или u_C(0)/p. В данной задаче таким источником будет Li₂(0) (рис. 5).

Используя закон Ома, в операторной форме, запишем

где U_ab( p) может быть найдено по методу узловых напряжений:

Подставляя (3.10) в (3.9), получим

После числовых подстановок

Используя теорему разложения, найдем оригинал тока:

которое совпадает с выражение (3.6), полученным классическим методом.

Задача 2

Задача посвящена временному и частотному (спектральному) методам расчета реакции цепей на сигналы произвольной формы. В качестве такого сигнала используется импульс прямоугольной формы (видеоимпульс).

Электрические схемы цепей (рис. 6) содержат емкости С или индуктивности L, а также сопротивления R. Для всех вариантов . В схемах, где имеется сопротивление , его величина . Во всех схемах входным напряжением является прямоугольный импульс длительностью и амплитудой .

1. Перерисуйте схему Вашего варианта (см. табл. 1 и рис. 6). Выпишите исходные данные Вашего варианта (таблица 4).

Таблица 4

Временной метод расчета

2. Рассчитайте переходную и импульсную характеристики цепи по напряжению классическим или операторным методами (по выбору).

Рис.6

3. Рассчитайте реакцию цепи в виде выходного напряжений используя:

• интеграл Дюамеля;
• интеграл наложения.

4. Постройте временные диаграммы входного и выходного напряжений.

Частотный метод расчета

5. Рассчитайте комплексные спектральные плотности входного и выходного сигналов.

6. Рассчитайте и постройте графики модулей , и модуля комплексной передаточной функции цепи , как функций от циклической частоты f в диапазоне частот 0 - .

Типовая задача Т2

Схема цепи, приведенная на рис. 7 а, содержит емкость С = 10 пф и сопротивления = 1 кОм, = 3 кОм. На входе цепи действует прямоугольный импульс (рис. 8) длительностью = 60 нс и амплитудой = 4 В. Выполнить расчеты в соответствии с заданием к задаче 2.

Решение

1. Расчет переходной и импульсной характеристик классическим методом.

1.1. Переходная характеристика цепи рассчитывается, как переходной процесс в виде тока или напряжения, вызванный включением цепи с нулевыми начальными условиями на постоянное напряжение 1 В. В соответствие с этим составляется схема включения (рис. 7 б) , на которой E = 1 В. В задаче определяется переходная характеристика по напряжению относительно выходного контура , поэтому можно записать, что:

, (3.11)

Напряжение в схеме на рис. 3.7 б может быть рассчитано с помощью общей формулы (3.3) расчета переходных процессов в схемах первого порядка:

,

Рис.7

где = 1 В; р – корень характеристического уравнения, находится из операторного сопротивления схемы , и равен ; постоянная интегрирования находится из рассмотрения при :

(нулевое начальное условие).

Откуда . Окончательно

,

где – постоянная времени цепи.

Подставляя в (3.11), получим:

(3.12)

Обратить внимание, что в (3.12) определяется только элементами цепи и не зависит ни от токов, ни от напряжений.

1.2 Импульсная характеристика цепи h(t) есть производная от переходной характеристики h(t) = g¢ (t). Однако следует учесть, что, если переходная характеристика отлична от нуля при t = 0, т.е. имеет скачок при t = 0, то при дифференцировании появляется дополнительное слагаемое:

h(t) = g(0)d (t) + g¢ (t).

В рассматриваемой задаче = 0,75, поэтому

, (3.13)

где d (t) – импульсная функция (функция Дирака).

2. Расчет выходного напряжения временным методов.

2.1. Использование интеграла Дюамеля.

Из известных четырех формул интеграла Дюамеля наиболее общий характер имеет формула вида

(3.14)

в обозначениях величин и понятий, принятых в рассматриваемой задаче. Переменной интегрирования в (3.14) является t (не путать с постоянной времени ).

Входное напряжение имеет форму прямоугольного импульса (рис. 3.8), аналитическая запись которого может быть представлена как

(3.15)

Из (3.15) следует, что и что производная = 0 или для переменной = 0.

Число участников интегрирования в (3.14) определяется числом участков в функции, описывающей входной сигнал, в которых она непрерывна и дифференцируема [1, с. 188]. Для функции (3.15) таких участков в виде интервалов времени два: и . Необходимость учета второго участка, когда , объясняется тем, что за время действия импульса в реактивных элементах цепи накапливается энергия электрического и магнитного полей, которая после окончания импульса постепенно убывает до нуля, создавая напряжение и токи в цепи. Анализ этих величин и проводится в интервале .

Важнейшей характерной особенностью аппарата интеграла Дюамеля является то, что при записи реакции цепи на каждом новом интервале времени наличие скачкообразного изменения входного сигнала в начальный момент рассматриваемого интервала учитывается дополнительным слагаемым вида

,

где D U – амплитуда скачка;

– момент действия скачка.

Учитывая сказанное, запишем выходное напряжение цепи в соответствие с (3.14) и (3.12):

для интервала времени

. (3.16)

для интервала времени

(3.17)

2.2. Использование интеграла наложения.

В отличие от интеграла Дюамеля в интеграле наложения не учитываются дополнительными слагаемыми скачки входного напряжения:

, (3.18)

С учетом (3.13) реакция (3.18) заданной цепи на прямоугольный импульс будет равна:

для интервала времени

,

Используя фильтрующее свойство импульсной d -функции [1. стр. 173], получим

,

Для интервала времени

Сравнение результатов расчетов напряжения с использованием интегралов наложения и Дюамеля показывает, что они совпадают между собой.

3. Построение временной диаграммы входного и выходного напряжений.

Диаграмма выходного напряжения строится с использованием формул (3.16) и (3.17) путем подстановки в них соответствующих моментов времени. Результаты расчетов сводятся в таблицу 5.

Таблица 5

Рис.8

Из таблицы 5 видно, что в момент рассчитывается дважды: при по формуле (3.16), а при по формуле (3.17). Именно при такой методике можно определить будет ли скачкообразное изменение в форме выходного сигнала в момент изменения функции, описывающей входной сигнал, как это и показано в рассматриваемом примере.

Выбор расчетных точек в интервале определяется временем затухающего переходного процесса, которое зависит от постоянной времени цепи, равной = 40 нс.

Временные диаграммы входного и выходного напряжений показаны на рис. 9.

4. Расчет комплексной спектральной плотности входного и выходного сигналов.

Для расчета комплексной спектральной плотности непериодического сигнала f(t) произвольной формы используется прямое преобразование Фурье:

.

Для заданного входного сигнала (3.15) преобразование Фурье дает выражение

,

которое после преобразований (в контрольной работе показать эти преобразования) принимает более удобную форму

. (3.19)

Комплексная спектральная плотность выходного сигнала находится по формуле

, (3.20)

где – комплексная передаточная функция цепи по напряжению. Функция находится как отношение комплексного значения гармонического напряжения на выходе цепи к комплексному значения гармонического напряжения той же частоты, приложенному ко входу цепи:

.

Для схемы, приведенной на рис. 7 а легко получить:

.

Тогда

. (3.21)

Анализ (3.21) позволяет сделать вывод, что комплексная передаточная функция цепи по напряжению определяется только элементами цепи и является безразмерной величиной.

Используя (3.19) и (3.21), находим по (3.20) спектральную плотность выходного сигнала:

. (3.22)

5. Расчет графиков модулей , и .

Из выражений (3.19), (3.21) и (3.22) легко получить модули: спектральной плотности входного напряжения

; (3.23)

комплексной передаточной функции (амплитудно-частотная характеристика цепи)

; (3.24)

спектральной плотности выходного напряжения

. (3.25)

Рис.10

Для построения графиков полученных функций необходимо выбрать расчетные точки по частоте. Учтем, что спектральная плотность одиночного прямоугольного импульса измеряется в вольт ×  секундах [B ×  c] и что она обращается в ноль на частотах и т.д. Поэтому дополнительно выбираются промежуточные точки между этими частотами. Максимальная частота в соответствие с заданием равна 3/60 ×  10^-9 = 50 ×  10⁶ Гц = 50 МГц. Результаты расчетов по (3.23) ¸ (3.25) сводим в таблицу 6.

Таблица 6

По данным таблицы 6 строим графики (рис. 10).