,

где F – сила взаимодействия точечных зарядов и ; r – расстояние между зарядами; диэлектрическая проницаемость; электрическая постоянная.

, ,

где П – постоянная энергия точечного положительного заряда Q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю).

где напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого

i – м зарядом.

где r – расстояние от заряда Q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал.

а) (при r<R),

б) (при r=R),

в) (при r>R),

где Q – заряд сферы.

.

.

где r – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряженность Е и потенциал поля, создаваемого распределенным зарядом:

Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии (см. пример 6).

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой вычисляется.

а) или (в общем случае);

б) (в случае однородного поля);

в) (в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией).

,

где Q – заряд; I – плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).

.

или ,

где потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); U – разность потенциалов пластин конденсатора.

.

,

где S – площадь пластины (одной) конденсатора; d – расстояние между пластинами.

а) (при последовательном соединении);

б) (при параллельном соединении),

где N – число конденсаторов в батарее.

.

,

где Q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

,

где S – площадь поперечного сечения проводника.

,

где е – заряд частицы; n – концентрация заряженных частиц.

а) (для участка цепи, не содержащего э. д. с.),

где разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R–сопротивление участка;

б) (для участка цепи содержащего э. д. с.),

где э. д. с. источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

в) (для замкнутой (полной) цепи),

где R – внешнее сопротивление цепи; внутреннее сопротивление цепи.

а) , (первый закон);

б) (второй закон);

где алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление участков; алгебраическая сумма э. д. с.

где удельное сопротивление; удельная проводимость; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

а) (при последовательном соединении);

б) (при параллельном соединении);

где сопротивление i-го проводника.

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах, которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего э. д. с.

.

,

Где Q – заряд иона: n – концентрация ионов; и подвижности положительных и отрицательных ионов.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. Два точечных заряда 9Q и –Q закреплены на расстоянии друг от друга. Третий заряд может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда , при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым?

РЕШЕНИЕ. Заряд находиться в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это значит, что на заряд должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на какой из трех участков: I, II, III (рис. 11), может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд положительный.

На участке I (рис. 11,а) на заряд будут действовать две противоположно направленные силы и . Сила , действующая со стороны заряда 9Q, в любой точке этого участка больше силы , действующей со стороны заряда –Q, так как больший заряд 9Q находиться всегда ближе к заряду , чем меньший заряд –Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

 Рис.11

На участке II (рис. 11,б) обе силы и .направлены в одну сторону – к заряду –Q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III (рис. 11,в) илы и направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший заряд –Q всегда находиться ближе к заряду , чем больший заряд 9Q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, т. е.

(1)

Пусть x и l+x – расстояния от меньшего и большего зарядов до заряда . Выражая в равенстве (1) и в соответствии с законом Кулона, получим , или , откуда

.

Корень не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы и хотя и равны по модулю, но не совпадают по направлению).

Определим знак заряда , при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда в двух случаях: когда заряд положителен и отрицателен.

Если заряд положителен, то при смещении его влево обе силы и возрастают медленнее (заряд 9Q всегда находится дальше, чем –Q). Следовательно, и на заряд действует результирующая сила, направленная также влево. Под ее действием заряд удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда вправо. Сила убывает быстрее, чем . Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляется от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

Если заряд отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил и , но сила возрастает медленнее, чем , т. е. . Результирующая сила будет направлена вправо. Под ее действием заряда возвращается к положению равновесия. При смещении вправо сила убывает быстрее, чем , т. е. , результирующая сила направлена влево и заряд опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда несущественна.

ПРИМЕР 2. Три точечных заряда расположены в вершинах разностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

РЕШЕНИЕ. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой – нибудь один из трех зарядов, например , находился в равновесии. Заряд будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис.12):

, (1)

где силы, с которыми соответственно действуют на заряд заряды равнодействующая сил и .

Так как силы F и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным: , откуда . Выразив в последнем равенстве F через и и учитывая, что , получим .

Применив закон Кулона, и имея в виду, что , найдем

,

откуда

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

.

С учетом этого формула (2) примет вид

.

Произведем вычисления:

.

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

 Рис.12

ПРИМЕР 3. На тонком стержне длинной l=20см находится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии, а=10см от ближайшего конца находится точечный заряд , который взаимодействует со стержнем с силой F=6мкН. Определить линейную плотность заряда на стержне.

РЕШЕНИЕ. Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом зависит от линейной плотности заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить . При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим из стержня (рис. 13) малый участок dr с зарядом .

 Рис.13

Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

.

Интегрируя это выражение в пределах от а до а+l, получаем

,

откуда

.

Проверим, дает ли расчетная формула единицу линейной плотности электрического заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

Найденная единица является единицей линейной плоскости заряда.

Произведем вычисления:

.

ПРИМЕР 4. Два точечных электрических заряда и находятся в воздухе на расстоянии d=10см друг от друга. Определить напряженность Е и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда на расстояние и от заряда на .

РЕШЕНИЕ. Согласно принципу суперпозиций электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности . Напряженности электрического поля, создаваемого в воздухе зарядами

и :

, (1) . (2)

Вектор (рис. 14) направлен по силовой линии от заряда, так как заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду , так как заряд отрицателен.

 Рис.14

Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:

, (3)

где угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами и . В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение вычислить отдельно:

.

Подставляя выражения из (1) и из (2) в (3) и вынося общий множитель за знак корня, получаем

. (4)

В соответствии с принципом суперпозиций электрических полей потенциал реализующегося поля, создаваемого двумя зарядами и , равен алгебраической сумме потенциалов, т. е.

. (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

. (6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

,

или

.

Произведем вычисления:

При вычислении Е знак заряда опущен, так как знак заряда определяет направление вектора напряженности, а направление было учтено при его графическом изображении (рис. 14):

.

ПРИМЕР 5. Точечный заряд Q=25нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом , равномерно заряженным с поверхностной плотностью . Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра .

РЕШЕНИЕ. Значение силы F, действующей на точечный заряд Q, находящийся в поле, определяется по формуле

, (1)

где Е – напряженность поля.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

, (2)

где линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность через поверхностную плотность . Для этого выделим элемент цилиндра длинной l и выразим находящийся на ней заряд Q двумя способами: . Приравняв правые части этих формул, и сократив полученное равенство на l, найдем . С учетом этого формула (2) примет вид . Подставив выражение Е в (1), получим

.

Произведем вычисления:

.

Сила F сонаправлены с напряженностью Е, которая в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) перпендикулярна поверхности цилиндра.

ПРИМЕР 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью . Определить напряженность Е и потенциал электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет одну треть длины окружности и равна 15 см.

РЕШЕНИЕ. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 15). На нити выделим элемент длины dl. Заряд , находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

 Рис.15

Определим напряженность электрического поля в точке 0. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:

где r – радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность которой вычисляется.

Выразим вектор dE через проекции и на оси координат:

,

где i и j – единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием:

.

Интегрирование ведется вдоль дуги длиной l. В силу симметрии . Тогда

. (1)

где . Так как r=R=const, , то

.

Подставим выражение в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Y, пределы интегрирования возьмем от 0 до , а результат удвоим:

.

Выразив радиус R через длину l нити , получим

. (2)

Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Y.

Найдем потенциал электрического поля в точке 0. Сначала найдем потенциал , создаваемый точечным зарядом dQ в точке 0:

.

Заменим r на R и проведем интегрирование:

.

Так как , то

. (3)

Произведем вычисления по формулам (2) и (3):

ПРИМЕР 7. На пластинах плоского конденсатора находится заряд Q=10нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна , диэлектрик – воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

РЕШЕНИЕ. Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью , созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 16)

 Рис.16

. (1)

Так как

, (2)

где поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) примет вид

.

Произведем вычисления:

ПРИМЕР 8. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R=1см, равномерно заряженным с линейной плотностью . Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии и от поверхности цилиндра, в средней его части.

РЕШЕНИЕ. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

, или .

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях и от оси цилиндра:

. (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

. (2)

Подставив выражение Е в (1), получим

,

или

.

Произведем вычисления, учитывая, что величина и , входящие в формулу (2) в виде отношения, можно выразить в сантиметрах :

.

ПРИМЕР 9. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью , чтобы скорость его возросла в n=2раза.

РЕШЕНИЕ. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением заряда е электрона на разность потенциалов U:

. (1)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

, (2)

где и кинетические энергии электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m – масса электрона; и начальная и конечная скорости его.

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

,

где .

Отсюда искомая разность потенциалов

. (3)

Произведем вычисления:

.

ПРИМЕР 10. Конденсатор емкостью был заряжен до разности потенциалов . После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другими незаряженными конденсаторами емкостью, . Какая энергия израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

РЕШЕНИЕ. Энергия, израсходованная на образование искры,

, (1)

где - энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; - энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

, (2)

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии и по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где - разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов следующим образом:

. (4)

Подставив выражение в (3), найдем

,

или

.

Произведем вычисления:

.

ПРИМЕР 11. Потенциометр с сопротивлением R=100Ом подключен к батарее, э. д. с. которой и внутреннее сопротивление . Определить: 1) показание вольтметра с сопротивлением , соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

РЕШЕНИЕ 1. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 17), определим по формуле

 Рис.17

, (1)

где - сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра, - суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи).

Силу тока найдем по закону Ома для полной цепи:

, (2)

где - сопротивление внешней цепи. Это сопротивление есть сумма двух сопротивлений:

. (3)

Сопротивление найдем по формуле параллельного соединения проводников , откуда

. (4)

Подставив в (2) выражение по (3), найдем

. (5)

В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтому удобно вычисления величин провести раздельно:

2. Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока на половину сопротивления потенциометра:

, (6)

где - сила тока в цепи при отключенном вольтметре. Ее определим по формуле

.

Подставив выражение в (6), найдем

.

Произведем вычисления:

.

ПРИМЕР 12. Сила тока в проводнике сопротивлением R=20Ом нарастает в течение времени по линейному закону от до (рис. 18). Определить теплоту , выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и - за вторую, а также найти отношение .

 Рис.18

РПЕШЕНИЕ. Закон Джоуля-Ленца в виде справедлив для постоянного тока (). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде

. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае

, (2)

где к – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:

.

С учетом (2) формула (1) примет вид

. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени , выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от до :

.

Произведем вычисления:

Следовательно, , т. е. за вторую секунду выделиться теплоты в 7 раз больше, чем за первую.

ПРИМЕР 13. Электрическая цепь стоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра (рис. 19). В этой цепи э. д. с. элемента . Гальванометр регистрирует силу тока , идущего в направлении, указанном стрелкой. Определить э. д. с. второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением пренебречь.

 Рис.19

Указание. Для расчета разветвленных цепей применяются законы Кирхгофа.

1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.
2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательными. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.
3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа надо считать: а) падение напряжения (т. е. произведение IR) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус; б) э. д. с. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае э. д. с. входит в уравнение со знаком минус.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбирать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном произвольно выбранном.

РЕШЕНИЕ. Выберем направление токов, как они показаны на рис. 19, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа для узла F имеем

. (1)

По второму закону Кирхгофа для контура ABCDFA имеем

, или . (2)

Соответственно для контура AFGHA

. (3)

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим

.

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные – в правые, получим следующую систему уравнений:

.

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное из трех, то воспользуемся методом определителей.

Составим и вычислим определитель системы:

Составим и вычислим определитель :

Разделив определитель на определитель , найдем числовое значение э. д. с.:

.

Следовательно, .

ПРИМЕР 14. Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объем и заполнено водородом, который частично ионизирован. Площадь пластин конденсатора . При каком напряжении U сила тока, протекающего через конденсатор, достигнет значения , если концентрация ионов в газе ?

РЕШЕНИЕ. Напряжение U на пластинах конденсатора связано с напряженностью Е электрического поля и расстоянием между пластинами соотношением

. (1)

Напряженность поля может быть найдена из выражения плотности тока:

,

где Q – заряд иона; n – концентрация ионов; и - подвижности положительных и отрицательных ионов. Отсюда

.

Так как объем пространства, заключенного между пластинами, равен Sd, то

.

Подставив выражение Е и d в формулу (1), получим

. (2)

Произведем вычисления, учитывая, что подвижность ионов (см. прил., табл. 11):

.