Примеры решения задач. Физика

Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси Х:

где -некоторая функция времени.

Средняя скорость:

Средняя путевая скорость:

где - путь, пройденный точкой за интервал времени . Путь в отличии от разности координат не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. .

Мгновенная скорость:

Среднее ускорение:

Мгновенное ускорение:

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

Угловая скорость:

Угловое ускорение:

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности:

, , ,

где - линейная скорость; и - тангенциальное и нормальное ускорения; - угловая скорость; - угловое ускорение; - радиус окружности.

Полное ускорение:

или .

Угол между полным и нормальным ускорениями:

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки:

где - смещение; - амплитуда колебаний; - круговая, или циклическая, частота; - начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

;

б) начальная фаза результирующего колебания

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях ():

а) (если разность фаз );

б) (если разность фаз );

в) (если разность фаз ).

Уравнение плоской бегущей волны:

где - смещение любой из точек среды с координатой в момент ;

- скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз колебаний с расстоянием между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний:

где - длина волны.

Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью

Второй закон Ньютона:

где F – сила, действующая на тело.

Силы рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

где - коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость);

- абсолютная деформация

б) сила тяжести

в) сила гравитационного взаимодействия

где - гравитационная постоянная; и - массы взаимодействующих тел; - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность гравитационного поля:

;

г) сила трения (скольжения)

где - коэффициент трения; - сила нормального давления.

Закон сохранения импульса:

или для двух тел ():

где и - скорости тел в момент времени, принятый за начальный; и - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:

или .

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

где - жесткость пружины; - абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

где - гравитационная постоянная; и - массы взаимодействующих тел; - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести

где - ускорение свободного падения; - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии , где - радиус земли).

Закон сохранения механической энергии:

Работа , совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы:

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси

где - результирующий момент внешних сил относительно оси , действующих на тело; - угловое ускорение; - момент инерции тела относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой относительно оси , проходящей через центр масс:

а) стержня длиной

относительно оси, перпендикулярной стержню,

;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

где - радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом относительно оси, перпендикулярной плоскости диска

Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси

где - угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси:

где и - моменты инерции системы тел и угловые скорости вращения в моменты времени, принятые за начальный и конечный.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

, или .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид , где , .

Найти координату , скорость и ускорение а точки в момент времени

РЕШЕНИЕ. Координату найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени:

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

В момент времени t=2 c^

ПРИМЕР 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где А=10 рад, B=20 рад/с, С=-2 рад/с. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0.1м от оси вращения, для момента времени t=4 с.

РЕШЕНИЕ. Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис. 1):

Рис. 1

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

. (1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

, , (2)

где - угловая скорость тела; - его угловое ускорение.

Подставляя выражения и в формулу (1), находим

. (3)

Угловую скорость найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

В момент времени t=4 с угловая скорость

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

Подставляя значения и r в формулу (3), получаем

ПРИМЕР 3. Ящик массой m₁=20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной l=2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂=80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость u тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом a =30° к рельсам.

Рис.2

РЕШЕНИЕ. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как сумма внешних сил, действующих на систему [ сил тяжести m₁g и m₂g и силы реакции N₂ (рис.2)] , не равна нулю. Поэтому применить закон сохранения импульса к системе ящик-тележка нельзя. Но так как проекция суммы указанных сил на направление оси X, совпадающей с направлением рельсов, равна нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать постоянной, т.е.

, (1)

где p_1x и p_2x – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; p'_1x и p' _2x- те же величины после падения ящика.

Выразим в равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью u:

или

где v₁- скорость ящика перед падением на тележку; - проекция этой скорости на ось Х. Отсюда

. (2)

Скорость v₁ определим из закона сохранения энергии:

где , откуда

Подставив выражение v₁ в формулу (2), получим

После вычислений найдем

м/с.

ПРИМЕР 4. На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоит лодка массой M и длиной L. На корме стоит человек массой m.

На какое расстояние s удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пренебречь.

Рис.3

РЕШЕНИЕ. Согласно следствию из закона сохранения импульса внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Применяя это следствие к системе человек-лодка , можно считать, что при перемещении человека по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т.е. останется на прежнем расстоянии от берега. Пусть центр масс системы человек-лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку С₁ лодки (рис. 3), а после перемещения лодки – через другую ее точку С₂. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра масс О лодки. Как видно из рис.3, в начальный момент точка О находится на расстоянии а₁ слева от вертикали, от перехода человека - на расстоянии а₂ справа от нее. Следовательно, искомое перемещение лодки

. (1)

Для определения а₁ и а₂ воспользуемся тем, что относительно центра масс системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть равны. Для точки С₁

откуда

Для точки С₂

откуда

Подставив полученные выражения а₁ и а₂ в (1), найдем

или .

ПРИМЕР 5. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m=20 г поднялась на высоту h=5м. Определить жесткостьk пружины пистолета, если она была сжата на x=10 см. Массой пружины пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Система пуля-Земля (вместе с пистолетом) является замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы – силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия E₁ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом)равна полной энергии E₂ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.

или , (1)

где Т₁, Т₂, П₁ и П₂ – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид

. (2)

Если потенциальную энергию в поле сил тяготения Земли на ее поверхности принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. , а в конечном состоянии - потенциальной энергии пули на высоте h , т.е. .

Подставив выражения П₁ и П₂ в формулу (2), найдем , откуда

. (3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k.

Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин, подставим их единицы *:

Убедившись, что полученная единица является единицей жесткости (1 Н/м), подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:

ПРИМЕР 6. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v₁, столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

РЕШЕНИЕ. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

, (1)

где кинетическая энергия первого шара до удара; и - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения e надо найти . При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются законы сохранения импульса и механической энергии. Пользуясь этими законами, найдем:

, (2)

. (3)

Решим совместно уравнения (2) и (3):

Подставив это выражение в формулу (1) и сократив на и , получим

* Единицу какой либо величины принято обозначать символом этой величины, заключенной в квадратные скобки.

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменять местами.

ПРИМЕР 7. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу г. (рис.4), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами =100 г. и =200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движения. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити) . Спроецируем эти силы на ось , которую направим вертикально вниз, и напишем уравнение движения (второй закон Ньютона):

. (1)

Уравнение движения для второго груза:

. (2)

Под действием двух моментов сил и относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

, (3)

где , - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси Z.

Согласно третьему закону Ньютона , . Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо и выражения и , получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

. (4)

Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому массы , и можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. Ускорение надо выразить в единицах СИ. После подстановки получим

ПРИМЕР 8. Маховик в виде сплошного диска радиусом R=0,2м и массой m=50кг раскручен до частоты и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через t=50с. Найти момент М сил трения.

РРЕШЕНИЕ. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде

, (1)

где - изменение момента импульса маховика, вращающегося относительно оси Z, совпадающие с геометрической осью маховика, за интервал времени ; - момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно той же оси.

Момент сил трения можно считать не изменившимся с течением времени (), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению

. (2)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса

, (3)

где - момент инерции маховика относительно оси Z; - изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим , откуда

. (4)

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле

Изменение угловой скорости выразим через конечную и начальную частоты вращения, пользуясь соотношением :

Поставив в формулу (4) выражения и , получим

, (5)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу момента силы. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

Найденная единица является единицей момента силы.

Подставим в (5) числовые значения величин и произведем вычисления, учитывая, что :

Знак “минус” показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие.

ПРИМЕР 9. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5м и массой вращается по инерции около вертикальной оси с частотой . В центре платформы стоит человек массой, . Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы.

РЕШЕНИЕ. Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения Z, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю. При этом условии момент импульса системы платформа – человек остается постоянным:

, (1)

где - момент инерции платформы с человеком относительно оси Z, - угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому , где и - моменты инерции платформы и человека.

С учетом этого равенство (1) примет вид

или

, (2)

где значение моментов инерции и относятся к начальному состоянию системы; и - к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси Z при переходе человека не изменяется: . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции в начальном положении (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент инерции человека .

Подставим в формулу (2) выражение моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком и конечной угловой скорости (, где - скорость человека относительно пола):

После сокращения на и простых преобразований находим скорость

Произведем вычисления:

ПРИМЕР 10. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости , сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности Земли (R=6,37м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Минимальную скорость ракеты можно найти, зная ее минимальную кинетическую энергию . Для определения воспользуемся законом сохранения механической энергии. Этот закон выполняется для замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы. Систему ракета – Земля можно считать замкнутой. Единственная сила, действующая на систему, – гравитационная относится к разряду консервативных.

В качестве системы отчета выберем инерционную систему отсчета, так как только в такой системе справедливы законы динамики и, в частности, законы сохранения. Известно, что система отсчета, связанная с центром масс замкнутой системы тел, является инерционной. В данном случае центр масс системы ракета – Земля практически совпадает с центром Земли, так как масса Земли M много больше массы ракеты m. Следовательно, систему отсчета, связанную с центром Земли, можно считать инерциальной. Согласно закону сохранения механической энергии

, (1)

где , и , - кинетическая и потенциальная энергии системы ракета – Земля в начальном (на поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.

В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Земли равна нулю. Поэтому есть просто начальная кинетическая энергия ракеты:

Потенциальная энергия системы в начальном состоянии*

По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, кинетическая – убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т станет равной нулю, а потенциальная энергия достигнет максимального значения:

Подставляя выражения ,, и в (1), получаем

откуда

Заметив, что (g – ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде

что совпадает с выражением для первой космической скорости. Произведем вычисления:

ПРИМЕР 11. Точка совершает гармонические колебания с частотой . В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: . Написать уравнение колебаний точки и начертить их график.

РЕШЕНИЕ. Уравнение колебаний точки можно записать в виде

, (1)

или

, (2)

где А – амплитуда колебаний, - циклическая частота; t – время; и - начальные фазы, соответствующие форме записи (1) или (2)

По определению, амплитуда колебаний

. (3)

Циклическая частота связана с частотой соотношением

. (4)

Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. В момент времени формула принимает вид

откуда начальная фаза

или

(к=0,1,2,…).

Изменение фазы на не изменяет состояние колебательного движения, поэтому можно принять

. (5)

При использовании формулы (2) для записи уравнения колебаний получаем

или

(к=0,1,2,3,…).

Аналогично находим

. (6)

С учетом равенств (3) – (6) уравнения колебаний примет вид

или

где ; ,

График соответствующего гармонического колебания приведен на рис.5.

Рис.5

ПРИМЕР 12. Частица массой m=0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом T=2 с. Полная энергия колеблющихся частиц .Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы , действующее на частицу.

РЕШЕНИЕ. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:

где Отсюда амплитуда

. (1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением, где к – коэффициент квазиупругой силы; x – смещение колеблющейся точки. Максимальной силой будет при максимальном смещении , равном амплитуде:

. (2)

Коэффициент к выразим через период колебаний:

(3)

Подставив выражения к и А в (2) и произведя упрощения, получим:

Произведем вычисления:

;

ПРИМЕР 13. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями:

где Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.

РЕШЕНИЕ. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления, надо фиксировать какой – либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени . Преобразовав оба уравнения к канонической форме, получим:

, .

Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту

Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны:

, .

Произведем вычисления:

Изобразим векторы и . Для этого отложим отрезки длинной и под углами и к оси OX. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой и амплитудой А, равной геометрической сумме амплитуд и : А = . Согласно теореме косинусов

Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис.6):

Произведем вычисления:

или .

Также как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде

где А=4,84см;

Рис.6

ПРИМЕР 14. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:

, (1)

, (2)

где . Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

РЕШЕНИЕ. Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1) и (2). Заметив, что , применим формулу косинуса половинного угла:

Используя это соотношение и отбросив размерности x и y, можно написать:

откуда

, или . (3)

Последнее уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью OX. Как показывают уравнения (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси OX равна 1, а по оси OY – 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от -1 до +1, а ординаты – от -2 до +2. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения y, соответствующее ряду значений x, удовлетворяющих условию

x		x
-1	0	0	±1,41
-0,75	±0,71	0,5	±1,73
-0,5	±1	1	±2

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки. Соединив, их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуды АВСD (рис.7).

Из уравнения (1) и (2) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси , а по вертикальной оси . Следовательно, когда точка совершит одно полное колебание по оси OX, она совершит только половину полного колебания по оси OY. В начальный момент (t=0) имеем: x=1, у=2 (точка находится в положении А). При t =1с получим: х=-1 и у=0 (точка находится в вершине параболы). При t=2c получим: х=1 и у=-2 (точка находится в положении D). После этого она будет двигаться в обратном направлении.

Рис.7

ПРИМЕР 15. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью . Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях и от источника волн, колеблются с разностью фаз . Найти длину волны , написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t=1,2с, если амплитуда колебаний А=0,1м.

РЕШЕНИЕ. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны , колеблются с разностью фаз, равной ; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии , колеблются с разностью фаз равной: